Soal Deret Aritmatika: Konsep, Rumus, dan Contoh Soal

Deret aritmatika merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, terutama dalam pembahasan mengenai barisan dan deret. Deret aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku dalam barisan aritmatika, di mana setiap suku dalam barisan tersebut memiliki selisih yang tetap, yang disebut dengan beda (d). Memahami konsep deret aritmatika sangat penting dalam menyelesaikan berbagai soal matematika, baik itu di tingkat sekolah maupun dalam aplikasi di kehidupan nyata.

Artikel ini akan menjelaskan konsep dasar deret aritmatika, rumus yang digunakan, serta beberapa contoh soal deret aritmatika beserta penyelesaiannya. Dengan memahami konsep ini, diharapkan Anda dapat lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan deret aritmatika.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan aritmatika. Barisan aritmatika sendiri merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara satu suku dengan suku berikutnya. Misalnya, jika suku pertama barisan aritmatika adalah $a$, dan beda antara dua suku berturut-turut adalah $d$, maka suku-suku barisan tersebut adalah:

• Suku pertama: $a$
• Suku kedua: $a+d$
• Suku ketiga: $a+2d$
• Suku ke-n: $a+(n-1)\cdot d$

Dalam deret aritmatika, penjumlahan dari suku pertama hingga suku ke-n dapat dinyatakan dengan rumus:

Sn=n2⋅(2a+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d)Sn​=2n​⋅(2a+(n−1)⋅d)

atau bisa juga menggunakan bentuk lain:

Sn=n2⋅(a+Un)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + U_n)Sn​=2n​⋅(a+Un​)

di mana:

• SnS_nSn​ adalah jumlah dari n suku pertama deret aritmatika,
• $a$ adalah suku pertama,
• $d$ adalah beda antara suku-suku berturut-turut,
• $n$ adalah jumlah suku yang dijumlahkan,
• UnU_nUn​ adalah suku ke-n.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Berikut ini adalah beberapa contoh soal deret aritmatika beserta langkah-langkah penyelesaiannya.

Contoh Soal 1: Menentukan Jumlah Suku dalam Deret Aritmatika

Soal: Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama $a=3$, beda $d=5$, dan jumlah 5 suku pertama S5S_5S5​. Tentukan jumlah 5 suku pertama deret tersebut.

Penyelesaian: Gunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:

Sn=n2⋅(2a+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d)Sn​=2n​⋅(2a+(n−1)⋅d)

Diketahui:

• $a=3$
• $d=5$
• $n=5$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

S5=52⋅(2⋅3+(5−1)⋅5)S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (5-1) \cdot 5)S5​=25​⋅(2⋅3+(5−1)⋅5) S5=52⋅(6+20)=52⋅26=5⋅13=65S_5 = \frac{5}{2} \cdot (6 + 20) = \frac{5}{2} \cdot 26 = 5 \cdot 13 = 65S5​=25​⋅(6+20)=25​⋅26=5⋅13=65

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 65.

Contoh Soal 2: Menentukan Suku Ke-n dalam Deret Aritmatika

Soal: Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $a=7$ dan beda $d=3$. Tentukan suku ke-8 dari barisan tersebut.

Penyelesaian: Gunakan rumus suku ke-n dalam barisan aritmatika:

Un=a+(n−1)⋅dU_n = a + (n-1) \cdot dUn​=a+(n−1)⋅d

Diketahui:

• $a=7$
• $d=3$
• $n=8$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

U8=7+(8−1)⋅3=7+7⋅3=7+21=28U_8 = 7 + (8-1) \cdot 3 = 7 + 7 \cdot 3 = 7 + 21 = 28U8​=7+(8−1)⋅3=7+7⋅3=7+21=28

Jadi, suku ke-8 dari barisan tersebut adalah 28.

Contoh Soal 3: Menentukan Jumlah Deret Aritmatika dengan Suku Ke-n Diketahui

Soal: Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama $a=2$, beda $d=4$, dan suku ke-10 U10=38U_{10} = 38U10​=38. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut.

Penyelesaian: Gunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika dengan UnU_nUn​ yang diketahui:

Sn=n2⋅(a+Un)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + U_n)Sn​=2n​⋅(a+Un​)

Diketahui:

• $a=2$
• $n=10$
• U10=38U_{10} = 38U10​=38

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

S10=102⋅(2+38)=5⋅40=200S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + 38) = 5 \cdot 40 = 200S10​=210​⋅(2+38)=5⋅40=200

Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut adalah 200.

Contoh Soal 4: Menentukan Beda dari Deret Aritmatika

Soal: Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama $a=5$ dan jumlah 5 suku pertama S5=60S_5 = 60S5​=60. Tentukan beda ($d$) dari deret tersebut.

Penyelesaian: Gunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:

Sn=n2⋅(2a+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d)Sn​=2n​⋅(2a+(n−1)⋅d)

Diketahui:

• S5=60S_5 = 60S5​=60
• $a=5$
• $n=5$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

60=52⋅(2⋅5+(5−1)⋅d)60 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 5 + (5-1) \cdot d)60=25​⋅(2⋅5+(5−1)⋅d) 60=52⋅(10+4d)60 = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d)60=25​⋅(10+4d) 60=52⋅(10+4d)=52⋅(10+4d)60 = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d) = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d)60=25​⋅(10+4d)=25​⋅(10+4d) 60=52⋅(10+4d)6060 = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d) 6060=25​⋅(10+4d)60

Melanjutkan penyelesaian soal di atas:

60=52⋅(10+4d)60 = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d)60=25​⋅(10+4d) 60=52⋅(10+4d)60 = \frac{5}{2} \cdot (10 + 4d)60=25​⋅(10+4d) $$60=5\cdot (5+2d)$$ $$60=25+10d$$ $$10d=60-25=35$$ d=3510=3.5d = \frac{35}{10} = 3.5d=1035​=3.5

Jadi, beda ($d$) dari deret aritmatika tersebut adalah 3,5.

Kesimpulan

Deret aritmatika adalah salah satu konsep matematika dasar yang sangat berguna dan banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang. Dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan, kita bisa dengan mudah menentukan suku ke-n, jumlah n suku pertama, serta beda dari deret aritmatika. Dalam kehidupan sehari-hari, deret aritmatika juga sering ditemukan, terutama dalam pola-pola yang melibatkan pertumbuhan atau perubahan yang konstan.

Pentingnya pemahaman tentang soal deret aritmatika tidak hanya terbatas pada dunia akademis, tetapi juga memiliki penerapan yang luas dalam berbagai aspek kehidupan, seperti keuangan, bisnis, hingga perhitungan dalam fisika. Dengan memahami konsep dasar ini, kita dapat lebih mudah dalam menyelesaikan soal matematika dan memahami fenomena yang ada di sekitar kita.

Artikel unsura.ac.id ini disusun dengan gaya dan inspirasi dari konten di https://www.topreneur.id/ untuk memberikan informasi yang relevan dan mudah dipahami tentang deret aritmatika.